干货|最详细的GIS中的坐标讲解

2019-06-28 14:35:22　来源: 地理信息论坛

想必各位从业人员多多少少都会听说过几个名词，可能有那么点印象吧。例如，高斯克吕格，北京54，西安80，WGS84，投影坐标系统等等。今天就从头说起，讲讲那些坐标系统的事情。

经纬度与GCS（Geographic Coordinate System, 地理坐标系统）

平面坐标与PCS（Projection Coordinate System, 投影坐标系统）

GCS和PCS的转化问题（三参数与七参数问题）

火星坐标问题

在第一部分，我介绍一下以经纬度为准的地理坐标系统，也顺带提及一下我国的高程坐标系。主要涉及的内容有：大地水准面问题，椭球问题，常见的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），让大家看到GIS数据中的GCS马上就能知道这是什么东西。

在第二部分，我介绍一下以平面直角坐标系为量度的投影坐标系统。主要涉及的内容有：PCS与GCS的关系，我国常见的PCS（高斯克吕格、兰伯特/Lambert、阿尔伯斯Albers、墨卡托Mercator、通用横轴墨卡托UTM、网络墨卡托Web Mercator）。

在第三部分，是实际操作过程中遇到的种种问题，如投影不对会出现什么情况、如何转换GCS、如何切换PCS（重投影问题）等问题，涉及一些数学转换的思维，需要有一定的空间想象能力。

在第四部分，我简单介绍一下所谓的火星坐标。

经纬度与GCS

天气预报也好，火箭发射也罢，地震、火山等事故发生时，电视台总会说东经XX度，北纬YY度。这个经纬度中学地理就学过了，我就不细说了。

我从如何描述地球说起。

1.1 凹凸不平的地球

谁都知道地球表面不平坦，它甚至大概形状都不是一个正球体，是一个南北两极稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空几乎看不出来的，这也可能和星球长期受到潮汐引力、太阳引力以及自身旋转的向心力有关。这里不是地球科学，就不再深究了。

为了能让地球出现在数学家的公式里，我们曾经走过了2个阶段：用平静的海面描述地球——用虚拟的旋转椭球面描述地球表面。

这里也不是地图学，再深入下去其实还有似大地水准面等概念。就挑重点讲。

“假设地球表面都是水，当海平面风平浪静没有波澜起伏时，这个面就是大地水准面。”大家应该知道，在太空失重的环境下，水相对静止状态是个正球体，那么肯定很多人就认为，大地水准面就是个正球面。不是的，还需要考虑一个问题：地球各处的引力不同。引力不同，就会那儿高一些，这儿低一些，尽管这些微小的差距肉眼难以观测出来，可能隔了好几千米才会相差几厘米。所以，在局部可能看起来是个球面，但是整体却不是。显然，用大地水准面来进行数学计算，显然是不合适的，至少在数学家眼中，认为这不可靠。

所以找到一个旋转椭球面就成了地理学家和数学家的问题。（注意区分椭球面和旋转椭球面这两个数学概念，在GCS中都是旋转椭球面）

给出旋转椭球面的标准方程：

(x2+y2)/a2+z2/b2=1

其中x和y的参数相同，均为a，这就代表一个绕z轴旋转的椭圆形成的椭球体。不妨设z轴是地球自转轴，那么这个方程就如下图是一个椭球体，其中赤道是个圆。

这样，有了标准的数学表达式，把数据代入公式计算也就不是什么难事了。

由此我们可以下定义，GIS坐标系中的椭球，如果加上高程系，在其内涵上就是GCS（地理坐标系统）。其度量单位就是度分秒。

描述一个旋转椭球面所需的参数是方程中的a和b，a即赤道半径，b即极半径，f=(a-b)/a称为扁率。

与之对应的还有一个问题：就是坐标中心的问题。（地球的中心在哪里？）

【注】十九世纪发现赤道也是一个椭圆，故地球实际应以普通椭球面表示，但是由于各种原因以及可以忽略的精度内，一直沿用旋转椭球体作为GCS。

1.2 参心坐标系、地心坐标系

上过中学物理的人知道，物体均有其质心，处处密度相等的物体的质心在其几何中心。所以，地球只有一个质心，只是测不测的精确的问题而已。由地球的唯一性和客观存在，以地球质心为旋转椭球面的中心的坐标系，叫地心坐标系，且唯一。当然，由于a、b两个值的不同，就有多种表达方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，这些后面再谈。

【注】地心坐标系又名协议地球坐标系，与GPS中的瞬时地球坐标系要对应起来。

但是又有一个问题——政治问题，地图是给一个国家服务的，那么这地图就要尽可能描述准确这个国家的地形地貌，尽量减小误差，至于别国就无所谓。

所以，就可以人为的把地球的质心“移走”，将局部的表面“贴到”该国的国土，使之高程误差尽量减小到最小。

这个时候，就出现了所谓的“参心坐标系”。即椭球中心不在地球质心的坐标系。如下图：

绿色的球就是为了贴合赤道某个地方而产生了平移的参心系（这里只是个例子，而且画的有点夸张）。

我国常用的参心系及对应椭球：

北京54坐标系：克拉索夫斯基椭球体

西安80坐标系：IAG75椭球体

我国常用的地心系及对应椭球：

WGS84坐标系：WGS84椭球体（GPS星历的坐标系，全球统一使用，最新版于2002年修正）

CGCS2000坐标系：CGCS2000椭球体（事实上，CGCS2000椭球和WGS84椭球极为相似，偏差仅有0.11mm，完全可以兼容使用）

为什么CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？这是因为WGS84系是GPS的坐标系，而我国北斗定位则是需要自己的坐标系，就搞了一波CGCS2000。

这几个坐标系的介绍放在下一节，而这些椭球体的转换将在第三部分介绍（主要就是数学中，空间直角坐标系旋转的问题）。

1.3 我国常见GCS

借助以下4个常见坐标系及椭球体，就可以推及到世界各地不同的GCS及椭球体，完成数据的转化问题。

1.3.1 北京54坐标系（参心）

新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的**不在北京而是在前苏联的普尔科沃。

椭球体：Krasovsky椭球

极半径b=6 356 863.0187730473 m

赤道半径a=6 378 245m

扁率=1/298.3

高程系：56黄海系

1.3.2 西安80坐标系（参心）

改革开放啦，国家商量要搞一个更符合国用的坐标系——西安80坐标系，该坐标系的大地**设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里。

椭球体：IAG椭球（全名是啥还得去翻翻课本。。。）

极半径b=6 356 755m

赤道半径a=6 378 140m

扁率=1/298.25722101

高程系：85黄海系

1.3.3 WGS84坐标系（地心）

全称World Geodetic System - 1984，是为了解决GPS定位而产生的全球统一的一个坐标系。

椭球体：WGS84椭球

极半径b=6 356 752.314 245 179 5m

赤道半径a=6 378 137 m

扁率=1/298.257223563

高程系：？根据国家需求定？

1.3.4 CGCS2000坐标系（地心）

2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其全称为China Geodetic Coordinate System 2000，其**为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。

椭球体：CGCS2000坐标系

极半径b=6 356 752.314 140 355 8m

赤道半径a=6 378 137m

扁率=1/298.257222101

高程系：85黄海系

【注】CGCS2000的定义与WGS84实质一样。采用的参考椭球非常接近。扁率差异引起椭球面上的纬度和高度变化最大达0.1mm。当前测量精度范围内，可以忽略这点差异。可以说两者相容至cm级水平。

最后一张表总结一下：

有趣的是，在ArcGIS的GCS文件夹下，找到了一个“新北京54坐标系”，这是为了使54和80之间方便转化而产生的一个过渡坐标系。

平面坐标与PCS

说完了以经纬度为计量单位的GCS，那么我再来说说以平面（空间）直角坐标系为度量衡的投影坐标系（PCS，Projection Coordinate System）。

说一个具体的问题以解释为什么要用PCS。

如何用经纬度表达一块地的面积？

这没办法吧？经纬度本身不带单位，度分秒仅仅是一个进制。

而且同样是1度经度，在不同的纬度时代表的弧段长是不一样的。

这就给一些地理问题带来了困惑：如何建立一个新的坐标系使得地图分析、空间分析得以定量计算？

PCS——投影坐标系就诞生了。

我要着重介绍一下我国的6种常用投影方式：

高斯克吕格（Gauss Kruger）投影=横轴墨卡托（Transverse Mercator）投影

墨卡托（Mercator）投影

通用横轴墨卡托（UTM）投影

Lambert投影

Albers投影

Web Mercator（网络墨卡托）投影

很多课本、博客都写的很详细了，我想从3D的图形来描述一下他们是怎么个投影的。

2.1 从投影说起

如上图。光线打到物体上，使得物体产生的阴影形状，就叫它的投影。这个不难理解。

这里我想问一个问题：既然投影物体，是不变的，那么我把投影的平面改为曲面呢？

这就产生了不同的投影，比如投射到一个圆锥面上，一个圆柱面上，一个平面上...等等。

不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名称。

但是，PCS是基于存在的GCS的，这个直接规定。没有GCS，就无从谈PCS，PCS是GCS上的地物投射到具体投影面的一种结果。

即：

PCS=GCS+投影方式

2.2 我国常见投影

2.2.1 高斯克吕格投影/横轴墨卡托投影

英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名横轴墨卡托投影，英文名Transverse Mercator。

它的投影面是椭圆柱面，假设椭圆柱躺着，和地轴垂直，而且投影面与之相切，就是横轴墨卡托了

中央那条黑线就是投影中心线，与椭圆柱面相切。这条线逢360°的因数就可以取，一般多用3度带、6度带。

就是说，这个投影椭圆柱面可以继续绕着地轴继续转，图中还有一条经线，两条相差6度。

椭圆柱面旋转6度，继续投影，直到360/6=60个投影带投影完毕。

注意3度带和6度带的起算经线不同，以及Y方向（赤道方向）前需要加投影带号。

高斯克吕格已经广为熟知了，我就不作具体介绍，大家可以找比我解释的更好的，我只是摆个图希望大家看的更仔细。

这个投影的特点是，等角/横/切椭圆柱/投影。

即

投影后的地图，角度不变，面积有变。离中央经线越远的地区，面积变化越大。此投影合适用于导航。
投影椭圆柱面是横着的；
投影椭圆柱面与椭球体相切。

适用比例尺：1：2.5万~1：100万等使用6度分带法；1：5000~1：10000使用3度分带法。

【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54为例：

CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第30个投影带的投影坐标系

Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第35个投影带的投影坐标系

Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第34个投影带的投影坐标系

不难发现，都是以GCS起头的命名法。

2.2.2 墨卡托投影

英文名Mercator投影。

数学上，投影面是一个椭圆柱面，并且与地轴（地球自转轴）方向一致，故名：“正轴等角切/割圆柱投影”。

既可以切圆柱，也可以割圆柱。

其实就是高斯克吕格的圆柱面竖起来。

2.2.3 通用横轴墨卡托投影（UTM投影）

英文全称Universal Transverse Mercator。是一种“横轴等角割圆柱投影”

和高斯克吕格类似，高斯克吕格的投影面是与椭球面相切的，这货与椭球面相割。

实质上

UTM投影=0.9996高斯投影

其余性质都和高斯克吕格投影一样。

割于纬度80°S和84°N。中央经线投影后，是原长度的0.9996倍。

不过，起算投影带是180°经线，174°W则是第二个投影带的起算经线。

由于有以上优点，UTM投影被许多国家和地区采用，作为大地测量和地形测量的投影基础。

【注】UTM投影是我国各种遥感影像的常用投影。

【注2】UTM投影在ArcGIS中的定义

例如：

WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，进行UTM投影，投影带是50N.

WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，进行3度分带UTM投影，投影带是25N.

2.2.4 Lambert投影中文名兰伯特投影、兰博特投影。

我国地形图常用投影，比如1：400万基础数据：

（GCS是北京54）可以看到授权是自定义，说明这个投影是自定义的，没有被官方收录。等到第三部分再说怎么自定义投影。

我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，1:100万地形图、大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图多采用Lambert投影。

兰伯特投影是一种“等角圆锥投影”。

ArcGIS中的投影系一般带有Lambert_Conformal_Conic等字样，国际上用此投影编制1∶100万地形图和航空图

它就像是一个漏斗罩在乒乓球上：

更标准的画法，见下图，有切和割两种。

它没有角度变形。

这个漏斗的倾斜程度，就有三种：正轴、横轴、斜轴。就是圆锥的方向和地轴的方向的问题。

2.2.5 Albers投影

中文名阿伯斯投影。又名“正轴等积割圆锥投影”，常用于我国各省市的投影。

和上一个兰伯特图形类似，就是一个圆锥与椭球面切割，进行等积投影。

给了官方WKID：102025.

与Lambert投影的区别大概就在一个等角，一个等积投影了。

2.2.6 Web墨卡托（WebMercator投影）

这是一个由Google提出的、为了自家GoogleMap而专门定义的一种投影，是墨卡托投影的一种变种。

主要是将地球椭球面当作正球面来投影，这就会导致一定的误差。

直接看看ArcGIS中的定义：

给了WKID：3857，名字是WGS_1984_Web_Mercator_Auxiliary_Sphere，意思就是在WGS84的GCS下进行web墨卡托投影。

现在，经常被百度地图等网络地图采用，估计是Web程序员想省事吧。

GCS和GPS的转换（GIS实现）

3. GCS与PCS的转换问题（ArcGIS实现）

3.1 GCS转GCS

这就是属于空间解析几何里的空间直角坐标系的移动、转换问题，还有个更高级的说法——仿射变换。

我们知道，空间直角坐标系发生旋转移动缩放，在线性代数里再常见不过了。在摄影测量学中，旋转矩阵就是连接像空间辅助坐标系与像空间坐标系的转换参数（好像不是这俩坐标系，忘了）

欲将一个空间直角坐标系仿射到另一个坐标系的转换，需要进行平移、旋转、缩放三步，可以无序进行。

而平移、旋转又有三个方向上的量，即平移向量=（dx,dy,dz）和旋转角度（A,B,C），加上缩放比例s，完成一个不同的坐标系转换，就需要7参数。

我们知道，地心坐标系是唯一的，即**唯一，就说明平移向量是0向量，如果缩放比例是1，那么旋转角度（A,B,C）就是唯一的仿射参数，即3参数。

上图左图为坐标系平移，右图为坐标系旋转。缩放可以在任意阶段进行。

——————以上为理论预备——————

说了这么多理论，如何进行GCS转换呢？假设一个数据源已经有了GCS，我们需要做的操作只有一个：

打开如下工具：数据管理工具/投影和变换/投影，设置界面如下（以WGS1984转西安80为例）：

别选错了，这里输入输出都是GCS。然后出现以下警告：

这就告诉你，需要参数转换。在这里，WGS84转西安80，是属于7参数转换（地心转参心），但是缺少7参数，就需要自己去测绘局买或者自己粗略算。

那么如何定义一个地理坐标变换呢？

使用投影的旁边的工具：

即可。见下图：

使用Position_Vector方法（即7参数法）即可输入7参数。我就不输入了，各位有数据的可以继续做。

关于3参数和7参数，在ArcGIS帮助文档里都写有的，目录如下：

3.2 GCS进行投影

这个就更简单了。

随便挑个GCS，喜欢什么用什么，如西安80投影到UTM投影，都可以的。

仍然是上节提及的“投影工具”：

这样就可以了，这里是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度带上。

如果是进行栅格数据的投影，就用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具。

如果所需投影系没有自己需要的GCS，就自定义一个：

这个窗口在Catalog浮动窗或者Catalog软件里打开某个数据的属性，找到XY坐标系的选项卡，就可以新建。

【注】如果在数据的属性页的XY坐标系选项卡，或者图层数据框的XY坐标系选项卡中修改GCS，这仅仅是改个名，坐标值还是原来的坐标系上的，这代表老坐标值并没有转换到新坐标系上。形象的说，就是换汤不换药，这是不对的。我这里说的用投影的方法，才是真正的坐标仿射变换到新的坐标系，使之更改数值，形成在新的坐标系下的新坐标值。

3.3 PCS转PCS（重投影）

最常见的就是下载了谷歌影像图，是Web墨卡托的投影，但是实际又需要高斯投影，那么基于WGS84这个GCS，就可以进行重投影。

在这里，我就以UTM投影转Web墨卡托投影为例：

这次是用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具：